写给中学生 · 只需要会加减乘除
微积分听起来很吓人，其实它只回答两个问题：弯弯曲曲的东西怎么量，和一直在变的东西，某一瞬间变得有多快。
这一页不让你背公式。假装我们活在几百年前，世界上还没有微积分，我们只会加减乘除。下面有六个小实验，每一个都可以用手拖、用手点。玩一遍，你会发现这东西你自己也想得出来。
实验 1
0.9 比 1 小，0.99 比 1 小，0.999 还是比 1 小。那在后面一直写 9、永远写下去的 0.999…，凭什么就等于 1 了？
先别急着站队。我们换一个问法：如果它们不相等，那它们差多少？
动手：拉滑块，多写几个 9，看「还差多少」怎么变。然后在下面挑一个你觉得「它们至少差这么多」的数，看我能不能把差距压得比它还小。
你会发现：不管你说差多少，只要你说的是一个大于 0 的数，我多写几个 9 就能比你说的更近。也就是说，没有任何一个大于 0 的数能当它们的差距。
差距不是任何大于 0 的数，那差距只能是 0。差距是 0，就是相等。
数学家给这个想法起的名字叫极限：一串数越来越靠近某个数，而且你想要多近就能有多近，那个数就是这串数的极限。0.999… 的意思，就是 0.9、0.99、0.999… 这串数的极限，它是 1。
实验 2
两千多年前有人出了一道怪题。一个人每秒跑 10 米，一只乌龟每秒爬 1 米，乌龟先站在前面 10 米的地方。
人跑到乌龟刚才的位置时，乌龟已经往前爬了一小段；人再跑到那儿，乌龟又往前爬了更小的一段……这样的「再追一段」永远数不完。所以人永远追不上乌龟？
动手：先点「再追一段」，点上五六次，看每一段花的时间。再拉「直接看时间」的滑块，看看 1.2 秒时发生了什么。
秘密在这里：「再追一段」确实有无限次，但每一次花的时间是上一次的十分之一：1 秒、0.1 秒、0.01 秒……把它们全加起来是 1.111… 秒，一个普普通通的数。
无限个数加起来，结果可以不是无限大。只要它们缩小得够快。这句话是后面所有实验的地基。
实验 3
长方形的面积是长乘宽，三角形是底乘高除以 2。可是圆的边是弯的，没有哪条边可以拿尺子量。古人要造车轮、修粮仓、算田地，都卡在这里。
办法是用会算的东西去逼近不会算的东西。在圆里面画一个正多边形，它能切成一个个三角形，面积会算。边数越多，它和圆之间的缝就越小。
动手：先在「多边形」里把边数一路加到 192，看缝隙还剩多少。再切到「切橙子」，把圆像切橙子一样切成小瓣，一瓣朝上一瓣朝下排成一排，看它越来越像什么形状。
三国时期的刘徽就是这样做的，他叫它「割圆术」，一直割到了 192 边形。古希腊的阿基米德用的也是同一个思路。
「切橙子」那一排，切得越细就越像一个长方形：高是圆的半径 r，长是圆周长的一半，也就是 πr。长乘高，πr × r = πr²。圆面积的公式就是这么来的。
这个招数分三步：切碎，加起来，看它逼近哪个数。它和实验 1 是同一件事，缝隙想多小就能多小，那个被逼近的数就是圆的面积。
实验 4
圆太特殊了。假设你家有一块地挨着河，三条边是直的，靠河的那条边弯弯曲曲。这块地有多大？
还是那三步。把地切成一条一条细长的长方形，每一条的面积是宽乘高，会算。全部加起来，就是这块地大概的面积。
动手：拉滑块把条数加多。注意「少算了」那个数。
这里每一条都贴在河岸线的下面，所以总是少算一点，少算的就是条顶上那些小三角似的缺口。条切得越细，缺口越小，加起来的数就越靠近真正的面积。
「把一个东西切成无数细条，再把它们加起来」，这就是积分。它不只能算面积：把每一小段时间走的路加起来是总路程，把每一小块的重量加起来是总重量，都是积分。
每一格是 1 平方米。蓝色的条是我们算进去的部分。
实验 5
速度等于路程除以时间。跑 100 米用了 20 秒，平均每秒 5 米。可是「平均」会骗人：你可能前半段慢、后半段快。
那某一瞬间的速度呢？一瞬间，时间是 0，走过的路也是 0。0 除以 0，算不了。
我们来看一块从高处掉下来的石头。伽利略发现，它掉下去的距离大约是 5 × 时间 × 时间（单位是米和秒）：1 秒掉 5 米，2 秒掉 20 米，3 秒掉 45 米，越掉越快。
动手：选一个时刻，然后把「往后看多久」一步一步调小，看表格里平均速度的变化。
一瞬间的速度没法直接除，但很短一段时间里的平均速度永远可以算。把这段时间取成 1 秒、0.1 秒、0.01 秒……平均速度排成一串数：25、20.5、20.05、20.005…… 它们越来越靠近 20。
这串数的极限，就是第 2 秒那一瞬间的速度：每秒 20 米。换个时刻再试，你会发现规律：瞬间的速度 = 10 × 时间。
「把时间段缩到无限短，看平均变化率逼近哪个数」，这就是导数（也叫微分）。在图上，那条穿过两个点的直线会慢慢变成一条刚好贴着曲线的线，它有多陡，速度就有多大。
实验 6
到现在我们有了两个招数。积分是切碎了加起来，从面积里来。导数是看一瞬间变得多快，从速度里来。它们看起来毫无关系。
可是每一辆车的仪表盘上都有两块表：车速表告诉你这一瞬间有多快，里程表告诉你一共走了多远。
动手：上面那张图是车速。上下拖那几个圆点，画出你自己的开车方式：猛踩油门、匀速、刹车。再拉「现在是第几秒」的滑块。
看两件事。上图的阴影面积，永远等于下图里程表的读数。下图那条线在这一刻有多陡，永远等于上图的车速。
知道速度，加起来就得到里程；知道里程，看它变得多快就得回速度。积分和导数互相倒过来，就像加法和减法、乘法和除法。这件事叫微积分基本定理，是牛顿和莱布尼茨在十七世纪各自发现的。有了它，很多本来要切一万条才能算的面积，倒着做一次导数就算出来了。
上图：车速（可以拖圆点）。下图：里程。
最后
课本上的微积分满是奇怪的符号。其实每一个符号，都只是把上面某一句大白话写短了。这套写法是莱布尼茨设计的，一直用到今天。
拿实验 6 的车来说，用 s 表示里程，v 表示速度，t 表示时间。
试着算一道：一辆车从静止开始，速度均匀地增加，10 秒后达到每秒 20 米。这 10 秒它走了多远？
把速度画成图，是一条从 0 升到 20 的斜线。走过的路就是斜线下面的面积，一个三角形：10 × 20 ÷ 2 = 100 米。你刚刚做了一次积分。可以回到实验 6，把圆点拖成一条斜线验证一下。
| 符号 | 读成大白话 |
|---|---|
| Δt | 一小段时间Δ 是希腊字母，读作「德尔塔」，意思是「变化了多少」 |
| ΔsΔt | 这一小段时间里的平均速度走过的路 ÷ 用掉的时间 |
| dsdt | 这一瞬间的速度（导数）把 Δ 换成 d，表示这段时间缩到了无限短，取极限 |
| Σ v·Δt | 把每一小段的「速度 × 时间」加起来Σ 读作「西格玛」，意思是「加起来」 |
| ∫ v dt | 把无数个无限短的「速度 × 时间」加起来（积分）∫ 是一个拉长的 S，就是「求和」Sum 的第一个字母 |
凡是「一直在变」的东西，都归微积分管。几个例子：
如果以后在课本上再见到微积分，记住它只有三步：切碎，算简单的那一小块，再看它逼近哪个数。其余的都是练习。