重新发明微积分：写给中学生的六个小实验

微积分听起来很吓人，其实它只回答两个问题：弯弯曲曲的东西怎么量，和一直在变的东西，某一瞬间变得有多快。

这篇不让你背公式。假装我们活在几百年前，世界上还没有微积分，我们只会加减乘除。跟着下面六步走一遍，你会发现这东西你自己也想得出来。

每一步在互动版里都有一个可以动手的小实验，这里是文字版。

1. 0.999… 到底等不等于 1？

0.9 比 1 小，0.99 比 1 小，0.999 还是比 1 小。那在后面一直写 9、永远写下去的 0.999…，凭什么就等于 1 了？

换一个问法：如果它们不相等，那它们差多少？

你说差 0.001，我写 4 个 9，差距就只剩 0.0001，比你说的小。你说差一亿分之一，我写 9 个 9。不管你说差多少，只要你说的是一个大于 0 的数，我多写几个 9 就能比它更近。

没有任何一个大于 0 的数能当它们的差距，那差距只能是 0。差距是 0，就是相等。

数学家给这个想法起的名字叫极限：一串数越来越靠近某个数，而且你想要多近就能有多近，那个数就是这串数的极限。0.999… 的意思，就是 0.9、0.99、0.999… 这串数的极限，它是 1。

一个人每秒跑 10 米，一只乌龟每秒爬 1 米，乌龟先站在前面 10 米的地方。

人跑到乌龟刚才的位置时，乌龟已经往前爬了一小段；人再跑到那儿，乌龟又爬了更小的一段……这样的「再追一段」永远数不完。所以人永远追不上乌龟？

秘密在这里：「再追一段」确实有无限次，但每一次花的时间是上一次的十分之一：1 秒、0.1 秒、0.01 秒……全加起来是 1.111… 秒，一个普普通通的数（正好是 10 ÷ 9 秒）。

无限个数加起来，结果可以不是无限大，只要它们缩小得够快。这句话是后面所有内容的地基。

长方形的面积是长乘宽，三角形是底乘高除以 2。可是圆的边是弯的，没有哪条边可以拿尺子量。

办法是用会算的东西去逼近不会算的东西。在圆里面画一个正多边形，它能切成一个个三角形，面积会算。边数越多，它和圆之间的缝就越小。三国时期的刘徽叫它「割圆术」，一直割到了 192 边形；古希腊的阿基米德用的也是同一个思路。

还有一个更直观的办法：把圆像切橙子一样切成很多小瓣，一瓣朝上一瓣朝下排成一排。切得越细，这一排越像一个长方形：高是半径 r，长是圆周长的一半，也就是 πr。长乘高，πr × r = πr²。圆面积的公式就是这么来的。

这个招数分三步：切碎，加起来，看它逼近哪个数。

圆太特殊了。假设你家有一块地挨着河，靠河的那条边弯弯曲曲。这块地有多大？

还是那三步。把地切成一条一条细长的长方形，每一条的面积是宽乘高，会算。全部加起来，就是大概的面积。条切得越细，条顶上那些缺口越小，加起来的数就越靠近真正的面积。

「把一个东西切成无数细条，再把它们加起来」，这就是积分。它不只能算面积：把每一小段时间走的路加起来是总路程，把每一小块的重量加起来是总重量，都是积分。

速度等于路程除以时间。可是某一瞬间的速度呢？一瞬间，时间是 0，走过的路也是 0。0 除以 0，算不了。

看一块从高处掉下来的石头。它掉下去的距离大约是 5 × 时间 × 时间（单位是米和秒）：1 秒掉 5 米，2 秒掉 20 米，3 秒掉 45 米。

第 2 秒那一瞬间它有多快？一瞬间的速度没法直接除，但很短一段时间里的平均速度永远可以算：

这串数越来越靠近 20。它的极限，就是第 2 秒那一瞬间的速度：每秒 20 米。换别的时刻再算，会发现规律：瞬间的速度 = 10 × 时间。

「把时间段缩到无限短，看平均变化率逼近哪个数」，这就是导数（也叫微分）。

积分从面积里来，导数从速度里来，看起来毫无关系。可是每一辆车的仪表盘上都有两块表：车速表告诉你这一瞬间有多快，里程表告诉你一共走了多远。

知道速度，加起来就得到里程；知道里程，看它变得多快就得回速度。积分和导数互相倒过来，就像加法和减法、乘法和除法。这件事叫「微积分基本定理」，是牛顿和莱布尼茨在十七世纪各自发现的。有了它，很多本来要切一万条才能算的面积，倒着做一次导数就算出来了。

课本上的符号，每一个都只是把上面某一句大白话写短了。用 s 表示里程，v 表示速度，t 表示时间：

符号	读成大白话
Δt	一小段时间。Δ 读作「德尔塔」，意思是「变化了多少」
Δs / Δt	这一小段时间里的平均速度
ds / dt	这一瞬间的速度（导数）。把 Δ 换成 d，表示这段时间缩到了无限短
Σ v·Δt	把每一小段的「速度 × 时间」加起来。Σ 读作「西格玛」
∫ v dt	把无数个无限短的「速度 × 时间」加起来（积分）。∫ 是一个拉长的 S，Sum 的第一个字母

试着算一道：一辆车从静止开始，速度均匀地增加，10 秒后达到每秒 20 米，它走了多远？把速度画成图，是一条从 0 升到 20 的斜线，走过的路就是斜线下面的三角形面积：10 × 20 ÷ 2 = 100 米。这就是一次积分。

凡是「一直在变」的东西，都归微积分管。1846 年，天文学家发现天王星走的路线和计算对不上，于是反过来算：一定还有一颗没见过的行星在拉它。按算出来的位置把望远镜对过去，海王星就在那里。手机导航估计的到达时间、游戏里小人跳起来的抛物线、训练 AI 时「往错误变少的方向走一小步」，用的也都是它。

以后在课本上再见到微积分，记住它只有三步：切碎，算简单的那一小块，再看它逼近哪个数。其余的都是练习。

讲解的顺序（从 0.999… 讲到极限，再到割圆、瞬间速度和仪表盘）参考了 YouTube 频道「科學漫聊」的节目《用 80 分钟重新发明微积分》，推荐去听完整版。这篇的文字和互动版里的小实验是重新写的。